Функции от матриц

Определение функции

Df

Пусть  — функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т. е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) — многочлен: , тогда .

Определение f(A) в общем случае

Пусть m(x) — минимальный многочлен А, и он имеет такое каноническое разложение , ,  — собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A) = h(A) (1), тогда многочлен d(x) = g(x) - h(x) — аннулирующий многочлен для А, так как d(A) = 0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т. е. d(x) = m(x) * q(x) (2).

Тогда , т. е.  (3), , , .

Условимся m чисел для f(x) таких  называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f (Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т. е. из (3) > (2) > (1).

Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т. е. все многочлены g_i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g_i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т. е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A).

Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A) = g(A).

Df

Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A) = g(A), где g(A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A), .

Df

Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С [x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающей одинаковые значения на спектре А, что и f(x) — это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x) на минимальный многочлен m(x) = g(x) = m(x) * g(x) + r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание